PROBABILIDAD

Probabilidad

La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso o evento) cuando se realiza un experimento aleatorio.

Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del mismo; es decir, de cuántas formas puede ocurrir determinada situación.

Los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los que cumplan con la condición que estamos buscando.

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

El valor cero corresponde al suceso imposible; ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero.

El valor uno corresponde al suceso seguro, ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).

El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.


Métodos de medición de Probabilidad

Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.



Ejemplos:

Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable (f) es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles (n) son seis (puede salir cualquier número del uno al seis).

Por lo tanto:
 (o lo que es lo mismo, 16,6%)

TRIGONOMETRIA

Razones trigonométricas

Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cos B.

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B.

Función de seno

f(x) = sen x

Dominio: 

Recorrido: [−1, 1]

Período: 

Función de coseno

f(x) = cos x

Dominio: 

Recorrido: [−1, 1]

Período: 

Función de tangente 

f(x) = tg x

Dominio: 

Recorrido: 

Continuidad: Continua en 

FUNCIONES A TROZOS 2

Expresión analítica/ funciones a trozos

Obtener el dominio de una función

Dominio de una función 









funciones de segundo grado

Tienen el siguiente aspecto.

Donde a, b y c son números. Si a vale 0 nos quedaría.

Que ya no sería una parábola sino una recta como vimos en el artículo anterior. La gráfica de la parábola es la siguiente.

Esta sería la parábola más básica, la del tipo:

Para dibujar su gráfica podríamos usar el método de ir dándole valores a la x y obtener sus respectivas y, pero necesitaríamos muchos puntos para poder dibujar bien, lo mejor es buscar los puntos claves. Los puntos de corte con los ejes y el vértice.

Veamos un ejemplo, representar la siguiente parábola:

Para saber en que punto corta al eje y debemos darle a la x el valor 0, así sabremos cuanto vale la y en el eje.

Bien ya tenemos un punto de nuestra parábola.

Ahora calculemos los puntos de corte con el eje x, esto lo hacemos dando a la y el valor 0. Nos daría la siguiente ecuación.

Que es una ecuación de segundo grado que se resuelve con la siguiente fórmula.

Sustituimos valores y obtenemos dos puntos (recuerda que una raiz devuelve dos valores uno con signo más y otro con signo menos).

Por último calculamos el vértice de la parábola que viene dado por la siguiente fórmula.

Este es el valor de la x del vértice, para hallar su y simplemente sustituimos el valor en la función.

Resolvemos y tenemos que el vértice es el punto.

Ahora solo nos queda marcar los puntos en el eje de coordenadas y obtener la gráfica.

como sacar el tiempo 

como sacar la velocidad

como sacar la aceleración  

como sacar la distancia

como sacar la velocidad inicial

• Velocidad inicial: V_i = V_f - (a . t)
• V_i representa la “velocidad inicial”
• V_f representa la “velocidad final”
• a representa la “aceleración”
• t representa el “tiempo”

• Velocidad inicial: V_i = (d / t) - [(a . t) / 2]
• 
  
• V_i representa la “velocidad inicial”
• d representa la “distancia”
• a representa la “aceleración”
• t representa el “tiempo

• Velocidad inicial: V_i = √ [V_f² - (2.a.d)]
• V_i representa la “velocidad inicial”
• V_f representa la “velocidad final”
• a representa la “aceleración”
• d representa la “distancia”

• Velocidad inicial: V_i = 2(d/t) - V_f
• 
  
• V_i representa la “velocidad inicial”
• V_f representa la “velocidad final”
• t representa el “tiempo”
• d representa la “distancia”

como sacar la velocidad final

• velocidad inicial:  vf: vi + (a.t)

vi: velocidad inicial

a: aceleración

t: tiempo

Gráfica de una función cuadrática

Función cuadrática

Son funciones polinómicas, de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.



f(x) = ax² + bx + c



Representación gráfica de la parábola



Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:



1. Vértice



Vértice



Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.



La ecuación del eje de simetría es:



eje



2. Puntos de corte con el eje X



En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:



ax² + bx + c = 0



Resolviendo la ecuación podemos obtener:



Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0



Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0



Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0



3. Punto de corte con el eje Y



En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:





f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c        (0,c)





como graficar una función cuadrática 

Funciones lineales grafica dominio y rango

Función lineal

Una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.



Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).









Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2

Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)



Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)





ejemplo de las funciones lineales

f(x) = 3x+2       Si x es 3,  entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4,  entonces f (4) = 3*4+2 = 14

Si x es 5,  entonces f (5) = 3*5+2 = 17



Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de   x  y de  f(x)  NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.



g(x) = -3x+7     Si  x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 =   0+7 = 7

Si  x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4

Si  x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1



Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.



h(x) = 4             Si  x= 0   ,  entonces h(0)  = 4

Si  x= 98   entonces h(98) = 4



Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.



Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas.

como gratificar una función lineal

 

Intervalos 
Definición de intervalo

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x Pertenece Erre / a < x < b}


Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x Pertenece  Erre / a ≤ x ≤ b}


Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x Pertenece Erre / a < x ≤ b}


Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x Pertenece Erre/ a ≤ x < b}





Perímetro y área de figuras 

Perímetro: es la suma de los lados de una figura geométrica. Es su contorno.
Área: es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su región interior.





Operaciones con radicales




Sistema de coordenadas cartesianas

Numero pi 
Número π π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería.



Numero de oro
El número áureo (también llamado número de oro) es un número irracional, representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias. Es la relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica.

Números Reales

El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).


Un número real puede ser expresado de diferentes maneras, por un lado están los números reales que pueden ser expresados con mucha facilidad, ya que no poseen reglas complejas para hacerlo. Estos son los números enteros y los fraccionarios, como por ejemplo el número 67$67$ que viene a ser un entero, o también el 34$\frac{3}{4}$, que es un número fraccionario compuesto de dos enteros, cuyo numerador es 3$3$ y su denominador es 4$4$. Sin embargo, también existen otros números que pueden ser expresados bajo diferentes reglas matemáticas más complejas como números cuyos decimales son infinitos como el número π$\pi$ o 2√$\sqrt{2}$ y que sirven para realizar cálculos matemáticos pero no pueden ser representados como un símbolo numérico único.

Sucesiones

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) que están en algún orden.

¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 1, 2, 4, 7, ?

Hay (por lo menos) tres soluciones:

Solución 1: suma 1, después suma 2, 3, 4, ...

Entonces, 1+1=2, 2+2=4, 4+3=7, 7+4=11, etc...

Regla: xn = n(n-1)/2 + 1

Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...

(La regla parece complicada, pero funciona)



Solución 2: suma los dos números anteriores más 1:

Regla: xn = xn-1 + xn-2 + 1

Sucesión: 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, ...



Solución 3: suma los tres números anteriores

Regla: xn = xn-1 + xn-2 + xn-3



Sucesión: 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, ...

valor absoluto